Para evitar los problemas de que en los nombres que aparecen en los Insert Into etc, haya nombres con
comillas y dobles comillas, por ejemplo
Fernando O'Donell

Public Function IncluyeDobleComillaSimple(Texto As String) 
As String
    Dim X   As Long
    Dim Enc As Long
    Dim Ini As Long
    
    Enc = InStr(1, Texto, "'")
    Do While Enc > 0
        Texto = Left(Texto, Enc - 1) & "''" & Mid(Texto, Enc + 1)
        Ini = Enc + 2
        Enc = InStr(Ini, Texto, "'")
    Loop
    
    IncluyeDobleComillaSimple = Texto
End Function

Y cuando voy creando la sentencia lo hago haciendo 
llamadas a la misma, sería algo como:

UPDATE Clientes SET Nombre = "'" & IncluyeDobleComillaSimple(Campo) & "' " WHERE ....

Y funciona.


HAPPY
A raiz de esta pregunta, te diré que en mi opinión (y no soy el único que
pienso así), lo mejor es usar parámetros, pues además de las comillas
simples, nos podemos encontrar con más dificultades y para cada una de ellas
hay que buscarle una solución individual. En cambio, con el uso de
parámetros la solución es global para todos los casos. Por ejemplo, en el
caso que nos ocupa, tenemos una tabla "tabla1" con un campo apellido al cual
queremos añadir un valor, con DAO lo podríamos hacer así :

Dim qdf As QueryDef
Dim prm As String
Dim cadSQL As String

    cadSQL = "PARAMETERS cognom Text; " & _
                     "INSERT INTO tabla1 (apellido) " & _
                     "VALUES (cognom)"

    Set qdf = CurrentDb.CreateQueryDef("", cadSQL)

    prm = "O'Neil"
    qdf.Parameters("cognom") = prm
    qdf.Execute

    Set qdf = Nothing